Question

【題目】“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識(shí)，易證：＝．在圖1這個(gè)基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)＝．”

（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝　 　；

（2）數(shù)學(xué)思考：

①如圖3，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝　 　（用含m，n的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖4的情形給出證明；

（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①；②成立，理由見(jiàn)解析；（3）CE＝2或CE＝

【解析】

（1）先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可．

（2）方法和（1）一樣，先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可．

（3）由（2）的結(jié)論得出△ADE∽△CDF，判斷出CF=2AE，求出EF，再利用勾股定理，分三種情形分別求解即可．

（1）當(dāng)m＝n時(shí)，即：BC＝AC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝1，

∴＝1，

故答案為1．

（2）①∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝，

∴＝，

故答案為．

②成立．如圖，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

又∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝，

∴＝．

（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，

∵＝＝，

∴＝＝＝，

∴CF＝2AE，

在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，

∴EF＝＝＝2，

①當(dāng)E在線段AC上時(shí)，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，

根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍去）

而AC＝＜CE，

∴此種情況不存在，

②當(dāng)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，

在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，

根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（+CE）]2＝40，

∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），

③如圖4﹣1，當(dāng)點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，

CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，

根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）

即：CE＝2或CE＝．