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        1. 【題目】(2016浙江省舟山市第23題)我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做等鄰角四邊形

          (1)概念理解:

          請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子;

          (2)問題探究;

          如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中,DAB=ABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P,連結(jié)AC,BD,試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

          (3)應(yīng)用拓展;

          如圖2,在RtABC與RtABD中,C=D=90°,BC=BD=3,AB=5,將RtABD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角α(0°∠αBAC)得到RtABD(如圖3),當(dāng)凸四邊形ADBC為等鄰角四邊形時,求出它的面積.

          【答案】(1)、矩形或正方形;(2)、AC=BD,理由見解析;(3)、10或12

          【解析】

          試題分析:(1)、矩形或正方形鄰角相等,滿足等鄰角四邊形條件;(2)、AC=BD,理由為:連接PD,PC,如圖1所示,根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線,得到兩對角相等,利用等角對等角得到兩對角相等,進(jìn)而確定出APC=DPB,利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;(3)、分兩種情況考慮:(i)當(dāng)ADB=DBC時,延長AD,CB交于點E,如圖3(i)所示,由S四邊形ACBD=SACESBED,求出四邊形ACBD面積;(ii)當(dāng)DBC=ACB=90°時,過點D作DEAC于點E,如圖3(ii)所示,由S四邊形ACBD=SAED+S矩形ECBD,求出四邊形ACBD面積即可.

          試題解析:(1)、矩形或正方形;

          (1)、AC=BD,理由為:連接PD,PC,如圖1所示:

          PE是AD的垂直平分線,PF是BC的垂直平分線, PA=PD,PC=PB, ∴∠PAD=PDA,PBC=PCB,

          ∴∠DPB=2PAD,APC=2PBC,即PAD=PBC, ∴∠APC=DPB, ∴△APC≌△DPB(SAS), AC=BD;

          (3)、分兩種情況考慮:

          (i)當(dāng)ADB=DBC時,延長AD,CB交于點E, 如圖3(i)所示,

          ∴∠EDB=EBD, EB=ED 設(shè)EB=ED=x, 由勾股定理得:42+(3+x)2=(4+x)2, 解得:x=4.5,

          過點D作DFCE于F, DFAC, ∴△EDF∽△EAC, ,即,

          解得:DF=,

          SACE=AC×EC=×4×(3+4.5)=15;SBED=BE×DF=×4.5×=,

          則S四邊形ACBD=SACESBED=15=10

          (ii)當(dāng)DBC=ACB=90°時,過點D作DEAC于點E, 如圖3(ii)所示,

          四邊形ECBD是矩形, ED=BC=3, 在RtAED中,根據(jù)勾股定理得:AE=,

          SAED=AE×ED=××3=,S矩形ECBD=CE×CB=(4×3=123,

          則S四邊形ACBD=SAED+S矩形ECBD=+123=12

          練習(xí)冊系列答案
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