Question

操作：如圖1，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，請(qǐng)利用圖1畫出一對(duì)以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的全等三角形．
探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．試探究線段AB與AF、
FC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）在直線PQ上，取線段OE=OF，OM=ON，∠MOE=∠NOF，如下所示：
則△MOE≌△NOF．

（2）結(jié)論：AB=AF+FC；
證明過程，具體如下：
證明：延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠M，
∵∠AEB=∠MEC，∴△ABE≌△MCE，
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵M(jìn)C=MF+CF，∴AB=AF+FC．
分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定中的邊角邊為作圖的理論依據(jù)，來畫出全等三角形．
（2）本題可通過作輔助線將AB，F(xiàn)C，AF構(gòu)建到一個(gè)相關(guān)聯(lián)的三角形中，可延長(zhǎng)AE、DF交于點(diǎn)M，不難證明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，現(xiàn)在只要將AF也關(guān)聯(lián)到三角形BEC中，我們發(fā)現(xiàn)，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是個(gè)等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)．題中作圖的理論依據(jù)是全等三角形的判定中的邊角邊．