Question

【題目】如圖，是等邊三角形，是中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使.

（1）求證：；

（2）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作垂直于，垂足為；（保留作圖留痕跡，不寫(xiě)作法）

（3）若，求的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析；（3）36.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBC=30°，∠ACB=60°，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)得到∠E=30，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F；

（3）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CDF=30°，根據(jù)30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半得到CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AC的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．

（1）∵是等邊三角形，是中線，∴，．

∵，∴．

又∵，∴．

∴．∴．

（2）如圖所示．

（3）∵，由（1）知，，∴垂直平分．

∴在中，．∴．

∵，∴．∴．