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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D。AF平分∠CAB,交CD于點E,交CB于點F。

          (1)求證:CE=CF。
          (2)將圖(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使點E′落在BC邊上,其它條件不變,如圖(2)所示。試猜想:BE′與CF有怎樣的數量關系?請證明你的結論。

          【答案】
          (1)證明:∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠EAD,∵∠ACB=90°,∴∠CAF+∠CFA=90°,∵CD⊥AB,∴∠EAD+∠AED=90°, ∴∠CFA=∠AED ,又∵∠AED=∠CEF,∴∠CFA=∠AED,∴CE=CF

          (2)答: =CF. 過點E作EG⊥AC于點G,

          ∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,EG⊥AC,

          ∴ED=EG,

          ∵△ADE平移得到 ,

          =DE,

          =GE,

          ∵∠ACB=90°,

          ∴∠ACD+∠DCB=90°,

          ∵CD⊥AB,

          ∴∠B+∠DCB=90°,

          ∴∠ACD=∠B,在△CEG和 中,

          ,∴△CEG≌ (AAS),∴CE= ,又∵CE=CF,∴ =CF


          【解析】(1)求證CE=CF可由等角對等邊,即若∠CFA=∠AED,則CE=CF。由AF平分∠CAB,∠CAF=∠EAD再利用互余關系易得結果。
          (2)過點E作EG⊥AC于點G,由角平分線的性質可得ED=EG,再由平移可得 D ′ E ′ =GE,還有互余關系可得∠ACD=∠B,以及兩個直角,最后得證△CEG≌ △ B E ′ D ′推得 B E ′ =CF。

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