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        1. 【題目】如圖(1),直線軸于點P,Rt△ABC中,斜邊AB=5,直角邊AC=3,點A(0, )在軸上運動,直角邊BC在直線上,將△ABC繞點P順時針旋轉90°,得到△DEF。以直線為對稱軸的拋物線經(jīng)過點F。

          (1)求點F的坐標(用含的式子表示)

          (2)①如圖(2)當拋物線的頂點為點C時,拋物線恰好過坐標原點。求此時拋物線的解析式;

          ②如圖(3)不改變①中拋物線的開口方向和形狀,讓點A的位置發(fā)生變化,使拋物線與線段AB始終有交點M(, ).

          (ⅰ)求的取值范圍;

          (ⅱ)變化過程中,當變成某一個值時,點A的位置唯一確定,求此時點M的坐標。

          圖(1) 圖(2) 圖(3)

          【答案】(1)點F的坐標為(,0);(2)①;②(。 ;(ii)點M的坐標為(,

          【解析】(1)由旋轉可知,PF=PC=|t |,當t時,OF=OP+PF=t+3,易知F(t+3,0);

          時,OF=OP-PF= ,點F坐標為(,0); 當時,OF= PF-OP=,點F坐標仍為點F坐標為(,0)

          ∴點F的坐標為(,0)

          (2)①由拋物線的對稱性可知,PF=PO=3,又由旋轉PC=PF,故此時點C坐標為(3,3),設拋物線的解析式為,將原點坐標代入可得:

          ∴此時拋物線的解析式為

          ②由于拋物線形狀和對稱軸不發(fā)生改變,故可設拋物線解析式為,由于拋物線過點F(,0),代入可得: ,即此時拋物線為

          (。┮浊簏cB坐標為(3, ),由于,∴點B恒在拋物線頂點下方,只有點A在拋物線上或上方,拋物線與線段AB才有交點。

          從0開始增大時,PF增大,拋物線與軸左邊交點向左移動,拋物線與軸交點隨之上移,點M逐漸向點A靠攏,當拋物線過點A時, 取得最大值;而當從0開始減小時點F在O、P之間,由于拋物線隨著的減小向上移動,而點A向下移動,故點M會向點A靠攏,故當拋物線經(jīng)過點A時, 取得最小值。將點A坐標代入拋物線,得:

          (ⅱ)易求AB解析式為,將點M坐標代入直線與拋物線解析式可得:

          消去,并化簡得:

          由于當變成某一個值時,點A的位置唯一確定,所以上述關于的方程有兩個相等的實數(shù)根,從而有:

          解得: 舍去)

          代入AB解析式,可得:

          所以,此時點M的坐標為(,

          “點睛”此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:二次函數(shù)的性質,待定系數(shù)法確定拋物線解析式、二次函數(shù)的最值、一元二次方程的判別式,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵,解題時要注意用分類討論思想.

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