Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0，x＞0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，B，且該一次函數(shù)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E．已知A（1，4），＝．

（1）求m的值和一次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)M為反比例函數(shù)圖象在A，B之間的動點(diǎn)，作射線OM交直線AB于點(diǎn)N，當(dāng)MN長度最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）4，y＝﹣x+5；（2）（2，2）

【解析】

（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝中求出m得到反比例函數(shù)解析式為y＝；再證明△CDA∽△CEB，利用相似比求出BE＝4，則利用反比例函數(shù)解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；

（2）利用點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對稱，反比例函數(shù)y＝﹣關(guān)于y＝x對稱可判斷當(dāng)OM的解析式為y＝x時(shí)，MN的長度最大，然后解方程組得此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）把A（1，4）代入y＝得m＝1×4＝4，

∴反比例函數(shù)解析式為y＝；

∵BD⊥y軸，AD⊥y軸，

∴AD∥BE，

∴△CDA∽△CEB，

∴＝，即＝，

∴BE＝4，

當(dāng)x＝4時(shí)，y＝＝＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b得，解得，

∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+5；

（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對稱，反比例函數(shù)y＝﹣關(guān)于y＝x對稱，

∴當(dāng)OM的解析式為y＝x時(shí)，MN的長度最大，

解方程組得或，

∴此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．