Question

【題目】設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R .對(duì)于一個(gè)點(diǎn)與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點(diǎn)叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，2)，B（﹣，﹣1），C(，﹣1).

（1）已知點(diǎn)D（2，2），E（，1），F（，﹣1）.在D，E，F中，是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是 ；

（2）如圖1，過點(diǎn)A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°.

①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)P（m，n），求m的取值范圍；

②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當(dāng)b滿足什么條件時(shí)，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；（直接寫出答案，不需過程）

（3）如圖2，點(diǎn)Q為直線y=﹣1上一動(dòng)點(diǎn)，⊙Q的半徑為.當(dāng)Q從點(diǎn)（﹣4，﹣1）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.是否存在某一時(shí)刻t，使得⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）E,F;（2）①0≤m≤，②﹣ ≤b≤2；（3）存在，t=

【解析】試題解析：（1）根據(jù)等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得 點(diǎn)E、F 是等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

（2）①依題意A（0，2），M（，0）可求得直線AM的解析式為，所以△OAE為等邊三角形，所以AE邊上的高長(zhǎng)為.當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)， ≤OP≤2.所以當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)，點(diǎn)P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn).所以0≤m≤;

②同①得﹣≤b≤2;

（3）t=

解：（1）E,F;

（2）①解：依題意A（0，2），M（，0）.

可求得直線AM的解析式為.

經(jīng)驗(yàn)證E在直線AM上.

因?yàn)?/span>OE=OA=2，∠MAO=60°，

所以△OAE為等邊三角形，

所以AE邊上的高長(zhǎng)為.

當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)， ≤OP≤2.

所以當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)，點(diǎn)P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn).

所以0≤m≤;

②﹣≤b≤2;

（3）t=