Question

如圖，A（0，6），C（1，0），H（0，1），且BH⊥AC．

（1）求點B的坐標；
（2）如圖，若A，B，C在⊙M上，MN⊥BC于點N，求證：AH=2MN；

（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑作扇形OAB（如圖），P為扇形OAB的 上異于A，B的動點，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，D，Q在EF上，且ED=DQ=QF．①當點P在 上運動時，在線段PE，PD，ED中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度，若不存在，請說明理由．②PE²+3PQ²的值是定值嗎？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）延長BH交AC于P，如圖，
∵BH⊥AC，
∴∠HBO=∠OAC，
∵C（1，0），H（0，1），
∴OH=OC，
∴Rt△BOH≌Rt△AOC，
∴OB=OA，
而A（0，6），
∴B（-6，0）；

（2）⊙M交y軸于D，過M點作MG⊥OA于G，如圖，
∴∠DBC=∠DAC，
∴∠DBO=∠HBO，
∴OD=OH=1，
∴DG=AG=DA=3.5，
∴OG=3.5-1=2.5，
而MN⊥BC，
∴四邊形MNOG為矩形，
∴MN=OG=2.5，
又∵AH=AO-OH=6-1=5，
∴AH=2MN；

（3）①存在長度不變的線段DE．
∵PE⊥OA，PF⊥OB于F，
∴四邊形PEOF為矩形，線段PF和PE的長隨P的變化而變化，
∴EF=OP=6，
而ED=DQ=QF，
∴DE=EF=2；
②PE²+3PQ²的值是定值．
過Q作QC⊥PF于C，如圖，
∴QC∥PE，
∴CQ：PE=FC：FP=FQ：FE=1：3，
∴CQ=PE，CF=PF，
∴PC=PF，
在Rt△PCQ中，PQ²=PC²+CQ²，
∴PQ²=PF²+PE²，
∴PE²+3PQ²=PE²+PF²+PE²=（PF²+PE²）=EF²=×6²=48．
分析：（1）延長BH，設(shè)于AC交于點P，根據(jù)余角的性質(zhì)，即可推出∠HBO=∠CAO，易證Rt△BOH≌Rt△AOC，則OA=OB，即可得到B點坐標；
（2）⊙M交y軸于D，過M點作MG⊥OA于G，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC=∠DAC，則∠DBO=∠HBO，得到OD=OH=1，再根據(jù)垂徑定理得DG=AG=DA=3.5，則OG=3.5-1=2.5，利用矩形的性質(zhì)得MN=OG=2.5，而AH=AO-OH=6-1=5，即可得到結(jié)論；
（3）①四邊形PEOF為矩形，線段PF和PE的長隨P的變化而變化，則EF=OP=6，而ED=DQ=QF，則DE=EF=2；
②過Q作QC⊥PF于C，則QC∥PE，得到CQ：PE=FC：FP=FQ：FE=1：3，求得CQ=PE，CF=PF，在Rt△PCQ中利用勾股定理得PQ²=PC²+CQ²，然后進行線段代換即可得到PPE²+3PQ²=PE²+PF²+PE²=（PF²+PE²）=EF²=×6²=48．
點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，平分弦所對的�。�也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)以及勾股定理．