Question

已知函數(shù)y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β為方程y₁-y₂=0的兩個根，點M（t，T）在函數(shù)y₂的圖象上．
（Ⅰ）若α=，β=，求函數(shù)y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數(shù)y₁與y₂的圖象的兩個交點為A，B，當△ABM的面積為時，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，當0＜t＜1時，試確定T，α，β三者之間的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）問通過把α=，β=分別代入y₁-y₂=0，確定b，c的值而求得函數(shù)y₂的解析式；
（2）問關鍵在于明確|t-T|=h這一等量關系才能求得t的值；
（3）問難度較大，比較T、α、β的大小需要正確理解0＜α＜β＜1及0＜t＜1在整式變形中分類應用．
解答：解：（1）∵y₁=x，y₂=x²+bx+c，y₁-y₂=0，
∴x²+（b-1）x+c=0．
將α=，β=分別代入x²+（b-1）x+c=0，
得（）²+（b-1）×+c=0，（）²+（b-1）×+c=0，
解得b=，c=．
∴函數(shù)y₂的解析式為y₂=x²+x+．

（2）由已知得：A（，），B（，），得AB==，
設△ABM的高為h，
∴S_△ABM=AB•h=h=，即h=，
根據(jù)題意：|t-T|=h，
由T=t²+t+，
得：|-t²+t-|=，
當t²-t+=-時，解得：t₁=t₂=；
當t²-t+=時，解得：t₃=，t₄=；
∴t的值為：，，；

（3）由已知，得α=α²+bα+c，β=β²+bβ+c，T=t²+bt+c．
∴T-α=（t-α）（t+α+b）；
T-β=（t-β）（t+β+b）；
α-β=（α²+bα+c）-（β²+bβ+c），
化簡得（α-β）（α+β+b-1）=0．
∵0＜α＜β＜1，得α-β≠0，
∴α+β+b-1=0．
有α+b=1-β＞0，β+b=1-α＞0．
又∵0＜t＜1，
∴t+α+b＞0，t+β+b＞0，
∴當0＜t≤a時，T≤α＜β；
當α＜t≤β時，α＜T≤β；
當β＜t＜1時，α＜β＜T．
點評：本題綜合考查一元二次方程與一次函數(shù)及二次函數(shù)的相關知識，一元二次方程與函數(shù)相結合的綜合問題是初中與高中知識銜接的重點內容．對于這類問題，通常需要學生熟悉掌握方程與函數(shù)的概念與性質及兩者之間的聯(lián)系．