Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，∠ABC=60°．
（1）求⊙O的直徑；
（2）若D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí)，CD與⊙O相切；
（3）若動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)AE=x、BF=y，連接EF，求當(dāng)△BEF為直角三角形時(shí)，寫(xiě)出x、y的關(guān)系式，（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠C=90°，又∠ABC=60°得到∠A=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由BC求出AB的長(zhǎng)，即為圓O的直徑；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，當(dāng)DB=OB時(shí)，CD與圓O相切，理由為：由OC=OB得到△OCB為等腰三角形，又∠ABC為60°，故△OCB為等邊三角形，進(jìn)而得到CB=OB=OC，而OB=BD，故CB=OB=BD，根據(jù)一邊上的中線等于這邊的一半，得到這邊所對(duì)的角為直角，即∠OCD為直角，故DC與圓O相切；
（3）分∠EFB為直角和∠FEB為直角兩種情況考慮，由AB和BC的長(zhǎng)，以及設(shè)出的AE=x，BF=y，利用三角形的相似即可表示出各自的y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°，
又弦BC=4cm，∠ABC=60°，∴∠A=30°，
則⊙O的直徑AB=2BC=8cm；

（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
當(dāng)BD=BC=4cm時(shí)，CD與圓O的相切，
證明：∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△OCB為等邊三角形，∴CB=OB=BD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是圓O的切線；

（3）當(dāng)∠EFB=90°時(shí)，畫(huà)出圖形得：
由AB為圓O的直徑得到∠C=90°，又∠B=60°，
∴∠A=30°，則AB=2BC=8，
∵∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△EFB∽△ACB，
∴

BE

AB

=

BF

BC

，即

8-x

8

=

y

4

，
∴y=-

1

2

x+4；
當(dāng)∠FEB=90°時(shí)，畫(huà)出圖形得：
由∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴

BE

BC

=

BF

AB

，即

8-x

4

=

y

8

，
∴y=-2x+16．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理及相似三角形的判斷與性質(zhì)．其中證明切線的方法有：1、有點(diǎn)連接此點(diǎn)與半徑，證明夾角為直角；2、無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于半徑．動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題注意審清題意，利用分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題．