Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB邊上一點(diǎn)，P是優(yōu)弧BAC的中點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD．
（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并證明；
（2）在（1）的條件下，若cos∠PCB=

5

5

，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等弧對(duì)等弦以及全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E．根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)和垂徑定理進(jìn)行求解．

解答：解：（1）當(dāng)BD=AC=4時(shí)，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．
∵P是優(yōu)弧BAC的中點(diǎn)，
∴弧PB=弧PC．
∴PB=PC．
又∵∠PBD=∠PCA（圓周角定理），
∴當(dāng)BD=AC=4，△PBD≌△PCA．
∴PA=PD，即△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．

（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，
當(dāng)BD=4時(shí)，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2，
則AE=

1

2

AD=1．
∵∠PCB=∠PAD（在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE

PA

=

5

5

，
∴PA=

5

．

點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了等弧對(duì)等弦的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的知識(shí)以及垂徑定理．