Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．動點(diǎn)P、Q分別在邊AD和BC上，且BQ=2DP．線段PQ與BD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，射線PF交BC的延長線于點(diǎn)G，設(shè)DP=x．
（1）求

DF

CF

的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，試探究四邊形EFGQ的面積是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請用x的代數(shù)式表示四邊形EFGQ的面積S；如果不發(fā)生變化，請求出這個(gè)四邊形的面積S．
（3）當(dāng)△PQG是以線段PQ為腰的等腰三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由平行線分線段成比例即可求解其比值；
（2）點(diǎn)P在AD上運(yùn)動時(shí)，由平行線分線段成比例的性質(zhì)可得EF與QG的比例始終是1：3，且BQ=CG，所以其面積為定值，進(jìn)而求出其面積即可；
（3）以線段PQ為腰，則可能是PQ=PG，也可能是PQ=QG，所以分開求解即可．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴

DE

BE

=

DP

BQ

．
∵EF∥BC，∴

DE

BE

=

DF

CF

．
又∵BQ=2DP，∴

DF

CF

=

1

2

．

（2）不發(fā)生變化．
作EM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

DE

DB

=

1

3

．
而BC=13，
∴EF=

13

3

．
又∵PD∥CG，
∴

PD

CG

=

DF

CF

=

1

2

．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．
∴

EM

DN

=

BE

BD

=

EM

AB

=

2

3

，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=

1

2

×(

13

3

+13)×8=

208

3

．

（3）作PH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．
（i）當(dāng)PQ=PG時(shí)，QH=GH=

13

2

．
∴2x+

13

2

=11-x．
解得x=

3

2

．
（ii）當(dāng)PQ=GQ時(shí)，PQ=

(11-3x)2+122

=13．
解得x=2或x=

16

3

．
綜上所述，當(dāng)△PQG是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，x的值為

3

2

、2或

16

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)以及梯形的面積的求解和等腰三角形的判定問題，能夠利用所學(xué)知識熟練求解．