Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)求證：EO＝FO；
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．
(3)在(2)的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

(1)證明見解析 (2) 矩形，證明見解析(3) 直角三角形

證明：(1)∵M(jìn)N∥BC，∴∠FEC＝∠BCE.
∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE，
∴OE＝OC.同理可證OF＝OC，∴OE＝FO.
(2)當(dāng)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形．
∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝×180°＝90°.
由(1)得OE＝OF，又∵O為AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO.
∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵∠ECF＝90°，
∴四邊形AECF是矩形．
(3)當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°時，在(2)的條件下，四邊形AECF是正方形
（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通過等量代換即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可確定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；
（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，四邊形AECF為矩形，根據(jù)矩形的判定定理（對角線相等且互相平分的四邊形為矩形），結(jié)合（1）所推出的結(jié)論，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可確定四邊形AECF為矩形；
（3）當(dāng)△ABC是直角三角形時，四邊形AECF是正方形，根據(jù)（2）所推出的結(jié)論，由AC⊥BC，MN∥BC，確定AC⊥EF，即可推出結(jié)論．