Question

【題目】已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)．

（1）求證：BD∥AC；

（2）若點(diǎn)C在x軸正半軸上，且BD與AC的距離等于2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如果于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）BD∥AC；（2）；（3）

【解析】

（1）由A與B的坐標(biāo)求出OA與OB的長，進(jìn)而得到B為OA的中點(diǎn)，而D為OC的中點(diǎn)，利用中位線定理即可得證；

（2）如圖1，作BF⊥AC于點(diǎn)F，取AB的中點(diǎn)G，確定出G坐標(biāo)，由平行線間的距離相等求出BF的長，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長，進(jìn)而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設(shè)OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根據(jù)OA的長求出x的值，即可確定出C坐標(biāo)；

（3）如圖2，當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形時，AB∥DE，進(jìn)而得到DE垂直于OC，再由D為OC中點(diǎn)，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，求出OC的長，確定出C坐標(biāo)，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出AC解析式．

（1），，

，，點(diǎn)B為線段OA的中點(diǎn)，

點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，即BD為的中位線，

；

（2）如圖1，作于點(diǎn)F，取AB的中點(diǎn)G，則，

，BD與AC的距離等于2，

，

在中，，，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，

，

是等邊三角形，.

，

設(shè)，則，

根據(jù)勾股定理得：，

，

，

點(diǎn)C在x軸的正半軸上，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

（3）如圖2，當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形時，，

，

點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，

，

，

，

，

點(diǎn)C在x軸的正半軸上，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

設(shè)直線AC的解析式為.

將，得

，

解得：.

直線AC的解析式為.