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        1. 【題目】如圖,在RtABC中,ACB=90°,AC=8,BC=6CDAB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí),兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

          1)求線段CD的長(zhǎng);

          2)設(shè)CPQ的面積為S,求St之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t,使得SCPQSABC=9100?若存在,求出t的值;若不存在,則說(shuō)明理由.

          3)是否存在某一時(shí)刻t,使得CPQ為等腰三角形?若存在,求出所有滿足條件的t的值;若不存在,則說(shuō)明理由.

          【答案】1線段CD的長(zhǎng)為4.82當(dāng)t=秒或t=3秒時(shí),SCPQSABC=9100;3當(dāng)t2.4秒或秒或秒時(shí),CPQ為等腰三角形.

          【解析】

          試題分析:1)利用勾股定理可求出AB長(zhǎng),再用等積法就可求出線段CD的長(zhǎng).

          2)過(guò)點(diǎn)PPHAC,垂足為H,通過(guò)三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH,從而可以求出St之間的函數(shù)關(guān)系式;利用SCPQSABC=9100建立t的方程,解方程即可解決問(wèn)題.

          3)可分三種情況進(jìn)行討論:由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程,從而求出t;由PQ=PCQC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程,可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似,即可建立關(guān)于t的方程,從而求出t

          解:(1)如圖1,∵∠ACB=90°AC=8,BC=6,

          AB=10

          CDAB

          SABC=BCAC=ABCD

          CD===4.8

          線段CD的長(zhǎng)為4.8;

          2過(guò)點(diǎn)PPHAC,垂足為H,如圖2所示.

          由題可知DP=t,CQ=t

          CP=4.8﹣t

          ∵∠ACB=CDB=90°

          ∴∠HCP=90°DCB=B

          PHAC,

          ∴∠CHP=90°

          ∴∠CHP=ACB

          ∴△CHP∽△BCA

          =

          =

          PH=t

          SCPQ=CQPH=tt=﹣t2+t;

          存在某一時(shí)刻t,使得SCPQSABC=9100

          SABC=×6×8=24,且SCPQSABC=9100,

          t2+t):24=9100

          整理得:5t2﹣24t+27=0

          即(5t﹣9)(t﹣3=0

          解得:t=t=3

          0≤t≤4.8

          當(dāng)t=秒或t=3秒時(shí),SCPQSABC=9100;

          3)存在

          CQ=CP,如圖1

          t=4.8﹣t

          解得:t=2.47分)

          PQ=PC,如圖2所示.

          PQ=PC,PHQC

          QH=CH=QC=

          ∵△CHP∽△BCA

          =

          =

          解得;t=

          QC=QP,

          過(guò)點(diǎn)QQECP,垂足為E,如圖3所示.

          同理可得:t=

          綜上所述:當(dāng)t2.4秒或秒或秒時(shí),CPQ為等腰三角形.

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