Question

【題目】如圖①，若拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），我們把這樣的兩條拋物線和，互稱為“友好”拋物線．

（1）一條拋物線的“友好”拋物線有 條；

（2）如圖②，已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，求以點(diǎn)為頂點(diǎn)的的“友好”拋物線的表達(dá)式；

（3）若拋物線的“友好”拋物線的解析式為，請直接寫出與的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）無數(shù)；（2）；（3）

【解析】

(1)根據(jù)題目給的定義即可判斷一條拋物線有無數(shù)條”友好”拋物線.

(2)先設(shè)出L4的解析式,求出L3的坐標(biāo)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),再將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入L4的解析式中即可求解.

(3)根據(jù)兩個拋物線的頂點(diǎn)都在對方拋物線上,列式求解即可.

（1）根據(jù)“友好”拋物線的定義,只需要確定原函數(shù)頂點(diǎn)和拋物線任意一點(diǎn)做“友好”拋物線的頂點(diǎn)即可作出“友好”拋物線,因此有無數(shù)條.

∴答案為:無數(shù).

（2）把化為頂點(diǎn)式，得

頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

對稱軸為

點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)的解析式為，

把代入，得

.

解得.

的“友好”拋物線的表達(dá)式為：.

（3）由題意可得:,整理得,(a1+a2)(m-h)2=0,

∵頂點(diǎn)不重合,∴m≠h,

∴.