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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          如圖1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的對稱中心,MN交AB于F,QM交AD于E.
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          (1)求證:ME=MF.
          (2)如圖2,若將原題中的“正方形”改為“菱形”,其他條件不變,探索線段ME與線段MF的關系,并加以證明.
          (3)如圖3,若將原題中的“正方形”改為“矩形”,且AB=mBC,其他條件不變,則線段ME與線段MF的數量關系是
           
          分析:(1)過M作MH⊥AD于H,MG⊥AB與G,連接AM,由M為正方形的對稱中心得到M為正方形對角線的交點,根據正方形的性質得到AM平分∠BAD,根據角平分線性質得到MH與MG相等,接下來證明△MHE和△MGF全等,還差一個條件,由正方形的內角為直角得到∠EMF=90°,又四邊形AHMG三個內角為直角得到AHMG為矩形,則∠HMG=90°,進而得到∠EMF=∠HMG,在等式兩邊減去∠HMF,得到∠EMH=∠FMG,利用“AAS”證明△MHE和△MGF全等,得到ME=MF;
          (2)由M為菱形的對稱中心得到M為菱形對角線的交點,根據菱形的性質得到AM平分∠BAD,根據角平分線性質得到MH與MG相等,然后由已知的∠EMF=∠B,得到∠QMN=∠HMG,兩邊都減去∠HMF,得到∠EMH=∠FMG,利用“AAS”得到△MHE≌△MGF,進而得到ME=MF;
          (3)過M作MH⊥AB于H,MG⊥AD與G,四邊形AHMG三個內角為直角得到AHMG為矩形,從而得到MG等于AB的一半,MH等于BC的一半,由AB=mBC得到MG=mMH,且∠NMQ=∠HMG,兩邊減去∠HMF,得到∠EMH=∠FMG,又∠MHE=∠MGF=90°,根據兩對角相等的兩三角形相似得到△EMH和△FMG相似,根據相似三角形對應邊成比例即可得證.
          解答:精英家教網
          解:(1)過點M作MH⊥AD于H,MG⊥AB于G,連接AM,如圖1,
          ∵M是正方形ABCD的對稱中心,
          ∴M是正方形對角線的交點,
          ∴AM平分∠BAD,
          ∴MH=MG,
          ∵正方形ABCD、QMNP,
          ∴∠BAD=∠EMF=90°,
          ∴∠HMG=90°,
          ∴∠EMF=∠MGF,
          ∴∠EMH=∠FMG,
          ∵∠MHE=∠MGF=90°,
          ∴△MHE≌△MGF,
          ∴ME=MF;

          (2)ME=MF.
          證明:過點M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,連接AM,如圖2,
          ∵M是菱形ABCD的對稱中心,
          ∴M是菱形ABCD對角線的交點,
          ∴AM平分∠BAD,
          ∴MH=MG,
          ∵∠EMF=∠B,
          ∴∠QMN+∠BAD=180°,
          又∵∠HMG+∠BAD=180°,
          ∴∠QMN=∠HMG,
          ∴∠QMN-∠HMN=∠HMG-∠HMN,
          ∴∠EMH=∠FMG,
          又∵∠MHE=∠MGF=90°,且MH=MG,
          ∴△MHE≌△MGF,
          ∴ME=MF;

          (3)MF=mME.
          證明:過M作MH⊥AB于H,MG⊥AD與G,如圖3,
          ∵M是矩形ABCD的對稱中心,
          ∴M是矩形ABCD對角線的交點,又AB=mBC,
          則MG=
          1
          2
          AB,MH=
          1
          2
          BC,即MG=mMH,
          ∴∠A=∠MHA=∠MGA=90°,
          ∴四邊形AHMG為矩形,則∠HMG=90°,
          又∵四邊形MNPQ是矩形,
          ∴∠NMQ=∠HMG=90°,
          ∴∠NMQ-∠HMF=∠HMG-∠HMF,即∠EMH=∠FMG,
          ∴△EMH∽△FMG,
          MH
          MG
          =
          ME
          MF
          =
          1
          m
          ,即MF=mME.
          故答案為:MF=mME.
          點評:此題綜合考查了矩形、菱形及正方形的性質,考查了全等及相似的判斷與性質,是一道中檔題.
          練習冊系列答案
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          垂直
          垂直
          ,數量關系為
          相等
          相等

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          (3)用直尺和圓規(guī)在右邊方框中作一個△A′B′C′與△ABC全等.

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