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        1. 【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且BO=OC=3AO,直線y=﹣ x+1與y軸交于點D.

          (1)求拋物線的解析式;
          (2)證明:△DBO∽△EBC;
          (3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的P點坐標,若不存在,請說明理由.

          【答案】
          (1)

          解:∵拋物線y=ax2+bx﹣3,

          ∴c=﹣3,

          ∴C(0,﹣3),

          ∴OC=3,

          ∵BO=OC=3AO,

          ∴BO=3,AO=1,

          ∴B(3,0),A(﹣1,0),

          ∵該拋物線與x軸交于A、B兩點,

          ,

          ∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3


          (2)

          證明:由(1)知,拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

          ∴E(1,﹣4),

          ∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),

          ∴BC=3 ,BE=2 ,CE=

          ∵直線y=﹣ x+1與y軸交于點D,

          ∴D(0,1),

          ∵B(3,0),

          ∴OD=1,OB=3,BD= ,

          , ,

          ,

          ∴△BCE∽△BDO


          (3)

          解:存在,

          理由:設P(1,m),

          ∵B(3,0),C(0,﹣3),

          ∴BC=3 ,PB= ,PC= ,

          ∵△PBC是等腰三角形,

          ①當PB=PC時,

          = ,

          ∴m=﹣1,

          ∴P(1,﹣1),

          ②當PB=BC時,

          ∴3 = ,

          ∴m=± ,

          ∴P(1, )或P(1,﹣ ),

          ③當PC=BC時,

          ∴3 = ,

          ∴m=﹣3± ,

          ∴P(1,﹣3+ )或P(1,﹣3﹣ ),

          ∴符合條件的P點坐標為P(1,﹣1)或P(1, )或P(1,﹣ )或P(1,﹣3+ )或P(1,﹣3﹣


          【解析】(1)先求出點C的坐標,在由BO=OC=3AO,確定出點B,A的坐標,最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出點A,B,C,D,E的坐標,從而求出BC=3 ,BE=2 ,CE= ,OD=1,OB=3,BD= ,求出比值,得到 得出結(jié)論;(3)設出點P的坐標,表示出PB,PC,求出BC,分三種情況計算即可.此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了點的坐標的確定方法,兩點間的距離公式,待定系數(shù)法,等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定,解本題的關(guān)鍵是判斷△BCE∽△BDO.難點是分類.

          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,銳角三角形ABC中,BC>AB>AC,甲、乙兩人想找一點P,使得∠BPC與∠A互補,其作法分別如下:

          (甲)以A為圓心,AC長為半徑畫弧交ABP點,則P即為所求;

          (乙)作過B點且與AB垂直的直線,作過C點且與AC垂直的直線,交于P點,則P即為所求.

          對于甲、乙兩人的作法,下列敘述何者正確?(    )

          A. 兩人皆正確

          B. 兩人皆錯誤

          C. 甲正確,乙錯誤

          D. 甲錯誤,乙正確

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】某校在踐行“社會主義核心價值觀”演講比賽中,對名列前20名的選手的綜合分數(shù)m進行分組統(tǒng)計,結(jié)果如表所示:

          組號

          分組

          頻數(shù)

          6≤m<7

          2

          7≤m<8

          7

          8≤m<9

          a

          9≤m≤10

          2


          (1)求a的值;
          (2)若用扇形圖來描述,求分數(shù)在8≤m<9內(nèi)所對應的扇形圖的圓心角大。
          (3)將在第一組內(nèi)的兩名選手記為:A1、A2 , 在第四組內(nèi)的兩名選手記為:B1、B2 , 從第一組和第四組中隨機選取2名選手進行調(diào)研座談,求第一組至少有1名選手被選中的概率(用樹狀圖或列表法列出所有可能結(jié)果).

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在△ABC中,點DBC的中點,連接AD,E,F(xiàn)分別是ADAD延長線上的點.且DE=DF,連接BF,CE,下列說法中:①△ABD和△ACD的面積相等;②∠BAD=CAD;BFCE;CE=BF,其中,正確的說法有__________(填序號)

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在ABC中,DBC的中點,DEABE,DFACF,BE=CF

          1)求證:AD平分∠BAC;

          2)連接EF,求證:AD垂直平分EF

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動點Q從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿AB向點B移動;同時點P從點B出發(fā),仍以每秒1個單位的速度,沿BC向點C移動,連接QP,QD,PD.若兩個點同時運動的時間為x秒(0<x≤3),解答下列問題:

          (1)設△QPD的面積為S,用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S;當x為何值時,S有最大值?并求出最小值;
          (2)是否存在x的值,使得QP⊥DP?試說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

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          ①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
          那么,當AM∥BN時:

          (1)點點發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長度之間的等量關(guān)系,并給予證明;
          (2)設點Q為線段AE上一點,QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32 ,求AQ的長.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】已知:如圖,ABC是等邊三角形,BDAC,EBC延長線上的一點,且∠CED=30°.

          (1)求證:DB=DE.

          (2)在圖中過DDFBEBEF,若CF=3,求ABC的周長.

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