Question

【題目】如圖（1），E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED．

（1）探究：
①若∠A=30°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，則∠AED等于多少度？
③在圖（1）中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）拓展：如圖（2），射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②③④分別是被射線FE隔開的四個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中③④位于直線AB的上方），P是位于以上四個(gè)區(qū)域上點(diǎn)，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF之間的關(guān)系．（不要求證明）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖①，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=30°，∠D=40°，

∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，

∴∠AED=∠1+∠2=70°；

②過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=20°，∠D=60°，

∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．

理由：過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，

∵AB∥DC，

∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）

（2）解：點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)，

如圖1，在五邊形EBCFP中，∠PEB+∠B+∠C+∠PFC+∠P=540°

∴∠EPF=540°﹣∠B﹣∠C﹣（∠PEB+∠PFC）=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，如圖2，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)，如圖3，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

點(diǎn)P在區(qū)域④時(shí)，如圖4，同（1）的方法得，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】（1）①、②、③做出平行線，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再利用角的的和差及等量代換即可得證；
（2）分四個(gè)區(qū)域分別找出三個(gè)角關(guān)系即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)．