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        1. 如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°AC=10cm,BC=15cm,點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng);點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng),點(diǎn)P,Q分另從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒.
          (1)當(dāng)t=4時(shí),求線段PQ的長度;
          (2)當(dāng)t為何值時(shí),△PQC的面積等于16cm2?
          (3)點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),連接OC,能否使得PQ⊥OC?若能,求出t值;若不能,說明理由.

          【答案】分析:(1)由于點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng),點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒,而t=4,由此可以用t表示AP、PC、CQ的長度,然后利用勾股定理即可求出PQ的長度;
          (2)首先用t分別表示CP,CQ的長度,然后利用三角形的面積公式即可列出關(guān)于t的方程,解方程即可解決問題;
          (3)能夠使得PQ⊥OC,利用直角三角形的斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)可以證明△ABC和△PCQ相似,然后利用相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程,解方程即可求出t的值.
          解答:解:(1)當(dāng)t=4時(shí),
          ∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng),點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng),
          ∴AP=4cm,PC=AC-AP=6cm、CQ=2×4=8cm,
          ∴PQ==10cm;

          (2)∵AP=t,PC=AC-AP=10-t、CQ=2t,
          ∴S△PQC=PC×CQ=t(10-t)=16,
          ∴t1=2,t2=8,
          當(dāng)t=8時(shí),CQ=2t=16>15,∴舍去,
          ∴當(dāng)t=2時(shí),△PQC的面積等于16cm2;

          (3)能夠使得PQ⊥OC,如圖所示:
          ∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),∠ACB=90°,
          ∴OA=OB=OC(直角三角形斜邊上中線定理),
          ∴∠A=∠OCA,
          而∠OCA+∠QPC=90°,∠A+∠B=90°,
          ∴∠B=∠QPC,又∠ACB=∠PCQ=90°,
          ∴△ABC∽△QPC,
          ,

          ∴t=2.5s.
          ∴當(dāng)t=2.5s時(shí),PQ⊥OC.
          點(diǎn)評(píng):此題比較難,內(nèi)容比較多,也是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題,考查了勾股定理、三角形的面積公式、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí),綜合性很強(qiáng),對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
          (1)求證:BC是⊙O的切線;
          (2)若CD=6,AC=8,求AE.

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          (1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
          (2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
          (3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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          如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
          3
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          ,則cos∠CBD的值是(  )

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          如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
          5
          cm/s的速度運(yùn)動(dòng),在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
          (1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DP的長為
          (t-2)
          (t-2)
          cm,(用含t的代數(shù)式表示).
          (2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
          (3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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