Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-1，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P，且OB=3OA，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)A、B．
（1）求一次函數(shù)解析式；
（2）求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）平移直線AB使其過(guò)點(diǎn)P，如果點(diǎn)M在平移后的直線上，且tan∠OAM=

3

2

，求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（4）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接AP交y軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)Q、N分別為兩線段PE、PD上的動(dòng)點(diǎn)，連接QD、QN，請(qǐng)直接寫出QD+QN的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式即可得出B（0，3），根據(jù)OB=3OA，可求出OA的長(zhǎng)，也就得出了A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式中，即可得出所求；
（2）將（1）得出的A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）易求出平移后的直線的解析式，可根據(jù)此解析式設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線的解析式表示出縱坐標(biāo)）．然后過(guò)M作x軸的垂線設(shè)垂足為E，在構(gòu)建的直角三角形AME中，可用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出ME和AE的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠OAM的正切值求出M的坐標(biāo)．（本題要分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．方法一樣．）
（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作D′N⊥PD于點(diǎn)N，根據(jù)垂線段最短求出QD+QN的最小值．

解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1
∵OB=3OA，
∴B（0，3）（1分）
∴圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為：y=3x+3（2分）

（2）∵二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-1，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)B（0，3），
∴c=3，a=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3（3分）
∴拋物線y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)P（1，4）（4分）

（3）設(shè)平移后的直線的解析式為：y=3x+m
∵直線y=3x+m過(guò)P（1，4），
∴m=1，
∴平移后的直線為y=3x+1
∵M(jìn)在直線y=3x+1，且
設(shè)M（x，3x+1）
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，有

3x+1

x+1

=

3

2

，
∴x=

1

3

，
∴M1(

1

3

，2)（5分）
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，有-

3x+1

x+1

=

3

2

，
∴x=-

5

9

，
∴M2(-

5

9

，-

2

3

）（6分）

（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作D′N⊥PD于點(diǎn)N，
當(dāng)-x²+2x+3=0時(shí)，解得，x=-1或x=3，
∴A（-1，0），
P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
則可得PD解析式為：y=2x+2，
根據(jù)ND′⊥PD，
設(shè)ND′解析式為y=kx+b，
則k=-

1

2

，
將D′（2，2）代入即可求出b的值，
可得函數(shù)解析式為y=-

1

2

x+3，
將兩函數(shù)解析式組成方程組得：

y=- 1 2 x+3 y=2x+2

，
解得

x= 2 5 y= 14 5

，
故N（

2

5

，

14

5

），
由兩點(diǎn)間的距離公式：d=

(2- 2 5 )2+(2- 14 5 )2

=

4 5

5

，
∴所求最小值為

4 5

5

（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移等知識(shí)點(diǎn)．同時(shí)考查了應(yīng)用軸對(duì)稱和垂線段最短解決線段和的最小值問(wèn)題．