Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC

E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，

∴BE= AB，DF= CD，

∴BE=DF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形

在△ABD中，E是AB的中點，

∴AE=BE= AB=AD，

而∠DAB=60°

∴△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，

故DE=BE

∴平行四邊形DEBF是菱形

（2）解：四邊形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB

∴四邊形AGBD是平行四邊形

由（1）的證明知AD=DE=AE=BE，

∴∠ADE=∠DEA=60°，

∠EDB=∠DBE=30°

故∠ADB=90°

∴平行四邊形AGBD是矩形．

【解析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AED是等邊三角形，從而證得DE=BE，問題得證；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得∠ADB=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．
【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．