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        1. 【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F,⊙O是△BEF的外接圓.

          (1)求證:AC是⊙O的切線.

          (2)過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H,求證:CD=HF.

          【答案】1證明見解析;(2)證明見解析.

          【解析】

          試題分析:(1)連接OE,由于BE是角平分線,則有CBE=OBE;而OB=OE,就有OBE=OEB,等量代換有OEB=CBE,那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可得OEBC;又C=90°,所以AEO=90°,即AC是O的切線;

          (2)連結(jié)DE,先根據(jù)AAS證明CDE≌△HFE,再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出CD=HF.

          試題解析:(1)如圖1,連接OE.

          ∵BE⊥EF,

          ∴∠BEF=90°,

          ∴BF是圓O的直徑.

          ∵BE平分∠ABC,

          ∴∠CBE=∠OBE,

          ∵OB=OE,

          ∴∠OBE=∠OEB,

          ∴∠OEB=∠CBE,

          ∴OE∥BC,

          ∴∠AEO=∠C=90°,

          ∴AC是⊙O的切線;

          (2)如圖2,連結(jié)DE.

          ∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,

          ∴EC=EH.

          ∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°,

          ∴∠CDE=∠HFE.

          在△CDE與△HFE中,

          ,

          ∴△CDE≌△HFE(AAS),

          ∴CD=HF.

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