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        1. 已知四邊形ABCD,點E是射線BC上的一個動點(點E不與B、C兩點重合),線段BE的垂直平分線交射線AC于點P,聯(lián)結(jié)DP,PE.

          (1)若四邊形ABCD是正方形,猜想PDPE的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
          (2)若四邊形ABCD是矩形,(1)中的PDPE的關(guān)系還成立嗎?      (填:成立或不成立).

          (3)若四邊形ABCD是矩形,AB=6,cos∠ACD= ,設(shè)AP=x,△PCE的面積為y,當(dāng)AP>AC時,求yx之間的函數(shù)關(guān)系式.

          (1)見解析
          (2)成立
          (3)見解析
          (1)PEPD,……………………………..(1分)
          PEPD  ……………………………..(2分)
          ①  點E在射線BC邊上,且交點P在對角線AC上時,連結(jié)PB

          ∵四邊形ABCD是正方形,
          ABAD,∠BAP=∠DAP。
          又∵APAP,∴△BAP≌△DAP(SAS)。
          PBPD
          ∵點PBE的垂直平分線上
          PB=PE
          PE=PD      
          ∵△BAP≌△DAP,∠DPA∠APB.
          又∵∠APB=180°-45°-∠ABP=135°-∠ABP,
          ∠DPA=135°-∠ABP。
          ∵PEPB,∴∠BPE=180°-2∠PBE
          ∠DPE=360°-∠DPA-∠APB—∠BPE=360°-2(135°-∠ABP)
          -180°+2∠PBE =360°-270°+2∠ABP-180°+2∠PBE=90°
          PEPD                           ………………………..(3分)
          P、C兩點重合

                              ………………………..(4分)
          ③ 當(dāng)點EBC邊的延長線上且點P在對角
          AC的延長線上時,連結(jié)PB

          同理可證∴△BAP≌DAP(SAS)。
          PB=PD
          ∠PBA=∠PDA
          ∠PBE=∠PDC
          ∵點PBE的垂直平分線上
          PB=PE
          ∠PBE=∠PEB
          ∠PDC=∠PEB
          ∠DFC=∠EFP
          ∠EPF =∠DCF=90°
          PEPD                …………………………………………..(5分)
          結(jié)論成立         
          (3)(1)中的猜想不成立.               …………………………..(6分)
          (4) ①當(dāng)點P在線段AC上時
          ∵四邊形ABCD是矩形,AB=6
          DC=AB=6
          ∴∠ABC=∠ADC=90°
          ∵cos∠ACD
          AD=8,AC=10
          PQBC于點Q

          PQ∥AB
          =
          =
          BQ=x, BE=x, CE=x-8
          ∴△CPQ∽△CAB
          =  ∴=
          PQ=6-x
          y=EC×PQ
          =(x-8)( 6-x)
          =-x2+x-24(5<x<10)          ……………………………..(7分)
          ②當(dāng)點P在線段AC的延長線上時

          PQ∥AB
          ∴△CPQ∽CAB
          =
          =
          PQ=x-6
          =
          =
          CQ=x-8
          BQ=x
          BE=x
          EC=x-8
          y =EC×PQ
          =(x-8) (x-6)
          = -x+24(x>10)   ………………………………………..(8分)
          [注]學(xué)生正確答案與本答案不同,請老師們酌情給分。
          練習(xí)冊系列答案
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