Question

（本小題滿分10分）

數形結合作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系，即 “以形助數”。                                                            

如浙教版九上課本第109頁作業(yè)題第2題：如圖1，已知在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D為垂足。易證得兩個結論：(1)AC·BC = AB·CD   (2)AC2= AD·AB

（1）請你用數形結合的“以數解形”思想來解：如圖2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D為垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的兩個根，求AD、MD的長。

（2）請你用數形結合的“以形助數”思想來解： 設a、b、c、d都是正數，滿足a：b=c：d,且a最大。求證：a+d>b+c（提示：不訪設AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，構造圖1）

 

Answer 1

 

（1）顯然，方程x2-14x+48=0的兩根為6和8，   1分

又AC>BC

∴AC=8，BC=6

由勾股定理AB=10

△ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB

∴AD=6.4      -------------------------------2分

∵CM平分∠ACB

∴AM：MB=AC：CB

解得，AM=---------------------------------     1分

∴MD=AD-AM=-----------------------------1分

（2）解：不訪設AB=a,CD=d,AC=b,BC=c

由三角形面積公式，得AB·CD=AC·BC

2AB·CD=2AC·BC         -------------------------1分

又勾股定理，得AB2=AC2+BC2

∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性質)

∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分

∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分

∴(AB+CD)2 >（AC+BC）2

又AB、CD、AC、BC均大于零

∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分

 

 解析:略