Question

如圖，A、B是直線a上的兩個定點，點C、D在直線b上運動（點C在點D的左側），AB=CD=6cm，已知a∥b，連接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折疊得△A₁BC．
問題1：當A₁、D兩點重合時，則AC=

 

cm；
問題2：當A₁、D兩點不重合時，連接A₁D，可探究發(fā)現(xiàn)A₁D∥BC，
下面是小明的思考：
（1）將△ABC沿BC翻折，點A關于直線BC的對稱點為A₁，連接AA₁交BC所在直線于點M，由軸對稱的性質，得AM=A₁ M，這一關系在變化過程中保持不變；
（2）因為四邊形ABCD是平行四邊形，設對角線的交點是O，易知AO=DO，這一關系在變化過程中也保持不變．
請你借助于小明的思考，說明AD₁∥BC的理由；
問題3：當A₁、D兩點不重合時，若直線a、b間的距離為

5

cm，且以點A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形，求AC的長．

Answer 1

分析：問題1：首先得出四邊形ABCD為平行四邊形，進而得出四邊形ABCD為菱形，求出答案即可；
問題2：由題意可得：AM=A₁M，AO=DO，得出M和O分別為AA₁和AD的中點，即可得出MO為△AA₁M的中位線，求出即可；
問題3：分別利用當四邊形A₁CBD是矩形，當四邊形CBA₂D是矩形，當四邊形CBDA₃是矩形，分別求出AC的長即可．

解答：解：問題1：
BC為折痕，則BC垂直平分AA₁，
當A₁與D重合，即BC⊥AD，
又∵AB=CD，a∥b，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC=CD，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴AC=6cm，
故答案為：6；

問題2：如圖1，由題意可得：AM=A₁M，AO=DO，
∴M和O分別為AA₁和AD的中點，
∴MO為△AA₁M的中位線，
即A₁D∥MO，即A₁D∥BC；

問題3：如圖2，過點C作CE⊥AB，垂足為點E，
當四邊形A₁CBD是矩形，
∴∠ACB=∠A₁CB=90°，
∵CE⊥AB于點E，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴

CE

BE

=

AE

CE

，
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
設AE=x，則（

5

）²=x（6-x），
解得x₁=1，x₂=5，
∴AC=

( 5 )2+12

=

6

（cm）；

如圖3，當四邊形CBA₂D是矩形，
∴CD=BA=6cm，BC=

5

cm，
∴A₂C=

62+( 5 )2

=

41

（cm）；

如圖4，當四邊形CBDA₃是矩形，
過點C作CE⊥AB于點E，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAE=∠ECB，
又∵∠AEC=∠BEC，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴

CE

BE

=

AE

CE

，
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
設BE=x，則（

5

）²=x（6-x），
解得x₁=1，x₂=5，
∴BE=1，
∴BC=

6

，
∴A₃C=

AB2-BC2

=

30

，
綜上所述：以點A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形，AC的長為

6

cm或

41

cm或

30

cm．

點評：此題主要考查了幾何變換以及相似三角形的判定與性質以及菱形的判定等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．