Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A和B，過(guò)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，tan∠AOC=

1

2

，AB與y軸交于點(diǎn)D，連接CD，S_△ACD=4，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

2

3

．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△ABO的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_△AOC=S_△ACD=4，得出OC=2AC，進(jìn)而求出AC=2，從而有OC=4，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，求出k的值，再利用點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出一次函數(shù)解析式；
（2）利用在y=-3x-10中，令x=0，得y=-10，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-10），進(jìn)而求出△ABO的面積．

解答：解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=mx+n，反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
由圖知S_△AOC=S_△ACD=4，
∴

1

2

•OC•AC=4，又tan∠AOC=

1

2

，
∴

AC

OC

=

1

2

，即OC=2AC，
∴

1

2

•2AC•AC=4，解得AC=2，從而有OC=4，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，2），
代入y=

k

x

得2=

k

-4

，∴k=-8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

8

x

，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

2

3

，將它代入y=-

8

x

得y=-12，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（

2

3

，-12），
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入得

-4m+n=2 2 3 m+n=-12

，
解得

m=-3 n=-10

，
∴一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-3x-10；

（2）在y=-3x-10中，令x=0，得y=-10，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-10），
∴OD=10，
S△AOB=S△AOD+S△BOD=

1

2

•OD•|xA|+

1

2

•OD•|xB|=

1

2

×10×4+

1

2

×10×

2

3

=

70

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知結(jié)合圖象得出圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．