Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE=1，長(zhǎng)為的線段MN在AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小時(shí)，則tan∠MBC的值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：作EF∥AC且EF= ， 連結(jié)DF交AC于M，在AC上截取MN= ， 延長(zhǎng)DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，
則四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小，
由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，
∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，
∴△PFQ∽△PDC，
∴ =，
∴ =，
解得：PQ= ，
∴PC= ，
由對(duì)稱性可求得tan∠MBC=tan∠PDC==．
所以答案是 ．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題(已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑)．