Question

如圖（1），將一個正六邊形各邊延長，構成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，如圖（2）中陰影部分，取△A₁B₁C₁和△D₁E₁F₁各邊中點，連接成正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E₂，如圖（3）中陰影部分，如此下去…，則正六角星形A₄F₄B₄D₄C₄E₄的面積為

 

．

Answer 1

分析：先分別求出第一個正六角星形AFBDCE與第二個邊長之比，再根據相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．

解答：解：∵A₁、F₁、B₁、D₁、C₁、E₁分別是△ABC和△DEF各邊中點，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，且相似比為2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面積為1，
∴正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁的面積為

1

4

，
同理可得，第三個六角形的面積為：

1

43

=

1

64

，
第四個六角形的面積為：

1

16

×

1

4

×

1

4

=

1

256

，
故答案為：

1

256

．

點評：本題考查的是相似多邊形的性質及三角形中位線定理，解答此題的關鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．