Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），直線y= x+1與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以BD為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)M（t，1），直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．

（1）求拋物線的解析式；
（2）證明：圓C與x軸相切；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥m，垂足為E，再過(guò)點(diǎn)D作DF⊥m，垂足為F，求BE：MF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+1，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），

∴2=a（4﹣2）2+1，解得a= ，

∴拋物線解析式為y= （x﹣2）2+1= x2﹣x+2；

（2）

解：聯(lián)立直線和拋物線解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（3﹣ ， ﹣ ），D（3+ ， + ），

∵C為BD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為 = ，

∵BD= =5，

∴圓的半徑為 ，

∴點(diǎn)C到x軸的距離等于圓的半徑，

∴圓C與x軸相切；

（3）

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥m，垂足為H，連接CM，

由（2）可知CM= ，CH= ﹣1= ，

在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，

∵HF= = ，

∴MF=HF﹣MH= ﹣2，

∵BE= ﹣ ﹣1= ﹣ ，

∴ = = ．

【解析】（1）可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，再結(jié)合拋物線過(guò)點(diǎn)（4，2），可求得拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)和線段BD的長(zhǎng)，可求得圓的半徑，可證得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥m于點(diǎn)H，連接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐標(biāo)可求得FH，則可求得MF和BE的長(zhǎng)，可求得其比值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。�