Question

某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處。
如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計(jì)），點(diǎn)M表示這所中學(xué)。點(diǎn)B在點(diǎn)M的北偏西30°的3km處，點(diǎn)A在點(diǎn)M的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)M的南偏西60°的km處。 為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：
方案一：供水站建在點(diǎn)M處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請你在圖①中，畫出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請你在圖②中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值。
綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？

Answer 1

解：方案一：由題意可得：MB⊥OB，  ∴點(diǎn)M到甲村的最短距離為MB。  ∵點(diǎn)M到乙村的最短距離為MD， ∴將供水站建在點(diǎn)M處時，管道沿MD、MB線路鋪設(shè)的長度之和最小，  即最小值為MB+MD=3+ （km）。
方案二：如圖①，作點(diǎn)M關(guān)于射線OE的對稱點(diǎn)M′， 則MM′=2ME， 連接AM′交OE于點(diǎn)P，PE∥AM，PE=。  ∵AM=2BM=6， ∴PE=3 在Rt△DME中，  ∴PE=DE， ∴ P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，即AM′過D點(diǎn)。在線段CD上任取一點(diǎn)P′， 連接P′A，P′M，P′M′，則P′M=P′M′。 ∵AP′+P′M′＞AM′， ∴把供水站建在乙村的D點(diǎn)處，管道沿DA、DM線路鋪設(shè)的長度之和最小， 。
方案三：作點(diǎn)M關(guān)于射線OF的對稱點(diǎn)M′，作M′N⊥OE于N點(diǎn)，交OF于點(diǎn)G，交AM于點(diǎn)H，連接GM，則GM=GM′  ∴M′N為點(diǎn)M′到OE的最短距離，即M′N=GM+GN  在Rt△M′HM中，∠MM′N=30°，MM′=6，  ∴MH=3， ∴NE=MH=3  ∵DE=3， ∴N、D兩點(diǎn)重合，即M′N過D點(diǎn)。 在Rt△M′DM中，DM=， ∴M′D= 在線段AB上任取一點(diǎn)G′，過G′作G′N′⊥OE于N′點(diǎn)， 連接G′M′，G′M，顯然G′M+G′N′=G′M′+G′N′＞M′D  ∴把供水站建在甲村的G處，管道沿GM、GD 線路鋪設(shè)的長度之和最小， 即最小值為 綜上，∵              ∴供水站建在M處，所需鋪設(shè)的管道長度最短。