Question

（本小題滿分8分）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點，頂點為C，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心為M.
⑴ 求圓心M的坐標；
⑵ 求⊙M上劣弧AB的長；
⑶ 在拋物線上是否存在一點D，使線段OC和MD互相平分？若存在，直接寫出點D的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：⑴3分 ，∵    ∴
∴對稱軸為，頂點（1，-3）
又∵拋物線與軸交點（，0）、（，0）
∴
作拋物線對稱軸交于點，則（1，0）
∴圓心在對稱軸上，連接
∵⊙中，
∴
設(shè)⊙半徑為，則
∵（1，-3）
∴
∴
∵中
∴ 解得
∴
∵
∴圓心的坐標為（1，-1）
⑵3分，∵△BMN中，∠MNB＝90°，，
∴
∴∠NMB＝60°
∴∠AMB＝2∠NMB＝120°
∴⊙M上劣弧AB的長為
⑵ 2分，若線段OC和MD互相平分，則四邊形必定是平行四邊形
∴且
∵
∴點即為點向下平移2個單位得點
∴點坐標為（0，-2）

這是一道關(guān)于圓與二次函數(shù)的綜合題，有一定的難度，需要學生對所學知識綜合利用。