Question

（2010•路南區(qū)三模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求線段CD的長；
（2）求△BPQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)S=7.2時(shí)，求t的值；
（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的移動(dòng)過程中，如果將△APQ沿其一邊所在直線翻折，翻折后的三角形與△APQ組成一個(gè)四邊形，直接寫出使所組成的四邊形為菱形的t的值．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由角平分線的性質(zhì)定理就可以得出DE=DC，BE=BC=6，由勾股定理可以求出AB，設(shè)出CD=x，則可以表示出AD、BE，由勾股定理就可以求出x．
（2）作QF⊥AC于F，可以這么三角形相似把QF用含t的式子表示出來，而S_△BPQ=S_△ABC-S_△AQP-S_△PCB，就可以表示出積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)BQ=BP時(shí)利用勾股定理建立等量關(guān)系就可以求出其t值，當(dāng)BP=QP時(shí)，作PM⊥AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出其t值；當(dāng)PQ=BQ時(shí)，作QN⊥AC，利用三角形相似就可以求出其t值．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，
∴DE=DC，
∴△BDE≌△BDC，
∴BE=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

36+64

=10，
設(shè)CD=x，則AD=8-x，DE=x，
∴16+x²=（8-x）²，
∴x=3，
∴CD=3．


（2）作QF⊥AC于F，
∴∠AFQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴QF∥BC，
∴△AQF∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QF

BC

，
∴

10-4t

10

=

QF

6

，
∴QF=

30-12t

5

，
∴S△BPQ=

1

2

×6×8-

6×(3-t)

2

-

1

2

（5+t）•

30-12t

5

，
∴S=

6

5

t²+6t，
當(dāng)S=7.2時(shí)，
7.2=

6

5

t²+6t，
解得，t₁=-6（舍去），t₂=1；


（3）當(dāng)AQ=AP時(shí)，BQ=4t，CP=3-t，在Rt△BPC中，由勾股定理，得
16t²=（3-t）²+36，
解得x1=

-1-2 19

5

（舍去），x2=

-1+2 19

5

；
當(dāng)AP=PQ時(shí)，t₁=1，t₂=

15

7

；
當(dāng)PQ=AQ時(shí)，不存在．
∴t的值為：

-1+2 19

5

，1，

15

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱，三角形的面積，兩點(diǎn)間的距離，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)．