Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣x+c經(jīng)過A(﹣2，0)，B(0，2)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)均以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)BQ＝AP時(shí)，求t的值；

(3)隨著點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－x＋2；（2）當(dāng)BQ＝AP時(shí)，t＝1或t＝4；（3）存在．當(dāng)t＝時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（1，1），或當(dāng)t＝時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（﹣3，﹣3），使得△MPQ為等邊三角形．

【解析】

（1）把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝ax2－x＋c，求出解析式即可;

（2）BQ=AP，要考慮P在OC上及P在OC的延長線上兩種情況，有此易得BQ，AP關(guān)于t的表示，代入BQ=AP可求t值．
（3）考慮等邊三角形，我們通常只需明確一邊的情況，進(jìn)而即可描述出整個(gè)三角形．考慮△MPQ，發(fā)現(xiàn)PQ為一有規(guī)律的線段，易得OPQ為等腰直角三角形，但僅因此無法確定PQ運(yùn)動(dòng)至何種情形時(shí)△MPQ為等邊三角形．若退一步考慮等腰，發(fā)現(xiàn)，MO應(yīng)為PQ的垂直平分線，即使△MPQ為等邊三角形的M點(diǎn)必屬于PQ的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，但要明確這些交點(diǎn)僅僅滿足△MPQ為等腰三角形，不一定為等邊三角形．確定是否為等邊，我們可以直接由等邊性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，考慮t的存在性．

（1）∵拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，2）兩點(diǎn)，

∴，解得

∴拋物線的解析式為y＝－x2－x＋2．

（2）由題意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．

①當(dāng)t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B下方，此時(shí)BQ＝2－t．

∵BQ＝AP，∴2﹣t＝（2＋t），∴t＝1．

②當(dāng)t＞2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方，此時(shí)BQ＝t﹣2．

∵BQ＝AP，∴t﹣2＝（2+t），∴t＝4．

∴當(dāng)BQ＝AP時(shí)，t＝1或t＝4．

（3）存在．

作MC⊥x軸于點(diǎn)C，連接OM．

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－m2－m＋2．

當(dāng)△MPQ為等邊三角形時(shí)，MQ＝MP，

又∵OP＝OQ，

∴點(diǎn)M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線上，

∴∠POM＝∠POQ＝45°，

∴△MCO為等腰直角三角形，CM＝CO，

∴m＝－m2－m＋2，

解得m1＝1，m2＝﹣3．

∴M點(diǎn)可能為（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如圖，

當(dāng)M的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，

則有PC＝1﹣t，MP2＝1＋（1﹣t）2＝t2﹣2t＋2，

PQ2＝2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2﹣2t＋2＝2t2，

解得t1＝，t2＝（負(fù)值舍去）．

②如圖，

當(dāng)M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3）時(shí)，

則有PC＝3＋t，MC＝3，

∴MP2＝32＋（3＋t）2＝t2＋6t＋18，PQ2＝2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2＋6t＋18＝2t2，

解得t1＝，t2＝（負(fù)值舍去）．

∴當(dāng)t＝時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（1，1），或當(dāng)t＝時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（﹣3，﹣3），使得△MPQ為等邊三角形．