Question

19、如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形OBCD的邊長OB=4，OD=2．
（1）P是OB上一個動點(diǎn)，動點(diǎn)Q在PB或其延長線上運(yùn)動，OP=PQ，作以PQ為一邊的正方形PQRS，點(diǎn)P從O點(diǎn)開始沿線段OB方向運(yùn)動，直到點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，設(shè)OP=x，正方形PQRS與矩形OBCD重疊部分的面積為y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）中，當(dāng)x分別取1和3時，y的值分別是多少？
（3）已知直線l：y=ax-a經(jīng)過一定點(diǎn)A，求經(jīng)過定點(diǎn)A且把矩形OBCD的面積平均分成兩部分的直線l的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）本題要分兩種情況．
①當(dāng)RQ≤BC時，即當(dāng)0≤x≤2時，重合部分是正方形PSRQ的面積，因此y=x²．
②當(dāng)PR＞BC時，即2＜x≤4時，重合部分是個矩形，且以（4-x）為長，以BC為寬，因此此時的函數(shù)關(guān)系為y=2（4-x）．
（2）由于（1）是分段函數(shù)，先根據(jù)x的值，確定所在的取值范圍，然后代入所符合的函數(shù)關(guān)系式中求解即可．
（3）因?yàn)榫匦蜲BCD是中心對稱圖形，且對稱中心為對角線的交點(diǎn)，設(shè)為M．
所以經(jīng)過對稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分．求出M （2，1），因?yàn)橹本�y=ax-a過M （2，1）易求解析式．

解答：解：（1）y=x²；（0≤x≤2）
y=-2x+8．（2＜x≤4）
（2）當(dāng)x=1時，y=x²=1；
當(dāng)x=3時，y=-2x+8=2．
（3）矩形OBCD的對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為M（2，1），
把（2，1）代入y=ax-a得到a=1，
∴直線l的函數(shù)解析式為y=x-1．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用以及圖形面積的求法．