Question

如圖，用兩個(gè)邊長均為1的正方形ABCD和DCEF拼成一個(gè)矩形ABEF，把一個(gè)足夠大的直角三角尺的直角頂點(diǎn)與這個(gè)矩形的邊AF的中點(diǎn)D重合，固定矩形ABEF，將直角三角尺繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）觀察并證明：當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE、EF相交于點(diǎn)G、H時(shí)（如圖甲），通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結(jié)論，并證明你的結(jié)論；
（2）操作：在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)直角三角尺的兩直角邊分別與射線BE、射線EF交于G、H（如圖乙是旋轉(zhuǎn)過程中的一種狀態(tài)），DG交EH于O，設(shè)BG=x（x＞0）．
探究①：設(shè)直角三角尺與矩形ABEF重疊部分的面積為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
探究②：在旋轉(zhuǎn)過程中，∠DGE能否為30°？若能，設(shè)此時(shí)過點(diǎn)D有一直線分別與EF、EG交于M、N，該直線恰好平分△OEG的面積，求EM的長，若不能，請說明理由（注：

2 3

3

≈1.05）．

Answer 1

分析：（1）BG=EH．根據(jù)已知條件和正方形的性質(zhì)容易找到條件證明△DCG≌△DFH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明了；
（2）①旋轉(zhuǎn)過程分三種情況．當(dāng)0＜x≤1時(shí)，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，當(dāng)x＞2時(shí)，進(jìn)行分析．
根據(jù)已知條件和勾股定理求出△OEG的面積，設(shè)EM=m，EN=n，根據(jù)面積公式和平行線的性質(zhì)列方程組，解方程組就可以求出EM的長．

解答：解：（1）BG=EH．
證明：∵∠GDC+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
∴∠GDC=∠FDH，
∵∠DCG=∠F=90°，CD=DF，
∴△DCG≌△DFH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

（2）①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y=1；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，y=-

1

2

x+

3

2

；
當(dāng)x＞2時(shí)，y=

1

2x-2

；
②∠DGE能為30°，這時(shí)CG=

3

DC=

3

，EG=

3

-1，DE=

3

3

EG=1-

3

3

，
∴S_△OEG=

1

2

OE•EG=

1

2

×

3

3

(

3

-1)2=

2 3 -3

3

，
設(shè)EM=m，EN=n，則

1

2

mn=

1

2

S_△OEG，
∴mn=

2 3 -3

3

①，
∵EM∥AD，
∴

EM

CD

=

EN1

NC

即

m

1

=

n

n+1

②，
解由①、②組成的方程組，得m²+0.05m-0.05=0，
∴m₁=0.2，m₂=-0.25（舍），
∴EM=0.2．

點(diǎn)評：此題是開放性試題，充分利用正方形，矩形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)去探究圖形變換的規(guī)律．