Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為點(diǎn)O．
（1）連接AF，CE，求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∵AC的垂直平分線EF，

∴AO=OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE=OF，

∵O A=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴平行四邊形AECF是菱形

（2）解：設(shè)AF=acm，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AF=CF=acm，

∵BC=8cm，

∴BF=（8﹣a）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2=a2，

解得：a=5，

即AF=5cm

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，求出∠AEO=∠CFO，根據(jù)全等三角形的判定得出△AEO≌△CFO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OE=OF，根據(jù)菱形的判定推出即可；（2）設(shè)AF=acm，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AF=CF=acm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出42+（8﹣a）2=a2 ， 求出a即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．