Question

【題目】已知：△ABC，點M是平面上一點，射線BM與直線AC交于點D，射線CM與直線AB交于點E．過點A作AF∥CE，AF與BC所在的直線交于點F．

（1）如圖1，當BD⊥AC，CE⊥AB時，寫出∠BAD的一個余角，并證明∠ABD＝∠CAF；

（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．

①如圖2，當點M在△ABC內部時，用等式表示∠ABD與∠CAF之間的數量關系，并加以證明；

②如圖3，當點M在△ABC外部時，依題意補全圖形，并直接寫出用等式表示的∠ABD與∠CAF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】(1)∠ABD等(答案不唯一)，證明見解析；（2）①∠ABD+∠CAF=40°,證明見解析；

②∠CAF-∠ABD= 40°.

【解析】

(1)根據余角的定義寫出即可；根據同角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，再由平行線的性質得到∠ACE=∠CAF,從而得出結論；

(2) ①由∠BMC是△MDC的外角可得∠BMC=∠MDC+∠MCD，又∠MDC是△ABD的外角可得∠MDC=∠BAC+∠ABD，根據平行線的性質可得∠MCD=∠CAF，則證得∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF，代入數值計算即可得出結論；

②方法同①.

（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠ABD+∠BAC= 90° ， ∠ACE+∠BAC= 90° ，

∴∠ABD=∠ACE，

又∵AF∥CE，

∴∠ACE=∠CAF，

∴∠ABD=∠CAF.

(2)①∠ABD+∠CAF=40°，理由為：

∵∠BMC是△MDC的外角

∴∠BMC=∠MDC+∠MCD，

∵∠MDC是△ABD的外角，

∴∠MDC=∠BAC+∠ABD，

∵AF∥CE，

∴∠MCD=∠CAF，

∴∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF，

∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，

∴120°=80°+∠ABD+∠CAF，

∴∠ABD+∠CAF=40°.

②補全圖形見下圖，∠CAF-∠ABD= 40°

∵∠BEC是△AEC的外角

∴∠BEC=∠BAC+∠ACE，

∵∠BEC是△BME的外角，

∴∠BEC=∠BME+∠ABD，

∴∠BAC+∠ACE=∠BME+∠ABD，

∵AF∥CE，

∴∠ACE=∠CAF，

∴∠BAC+∠CAF=∠BMC+∠ABD，

∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，

∴80°+∠CAF=120°+∠ABD，

∴∠CAF-∠ABD= 40°