Question

【題目】（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

例1 求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

已知：如圖，在中，，，.

求證：、互相平分.

證明：連結(jié)、.

請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的解題過程.

（結(jié)論應(yīng)用）如圖②，連結(jié)圖①的、，分別與、、交于點(diǎn)、、.

（1）若，求點(diǎn)、之間的距離.

（2）若四邊形的面積為2，則的面積為______.

Answer 1

【答案】【教材呈現(xiàn)】答案見解析；【結(jié)論應(yīng)用】（1）2；（2）24

【解析】

教材呈現(xiàn)：根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，從而可得四邊形ADEF是平行四邊形，從而可證答案；

結(jié)論應(yīng)用：（1）由【教材呈現(xiàn)】可證點(diǎn)M與N分別是DE，EF的中點(diǎn)，從而可知MN是△DEF的中位線，從而可求答案；

（2）設(shè)MN，OE的交點(diǎn)為H，AE，DF的交點(diǎn)為P，根據(jù)【教材呈現(xiàn)】可知點(diǎn)P為DF的中點(diǎn)，M是DE的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，由（1）知MN是△EDF的中位線，利用三角形中線平分面積原理即可得出答案.

教材呈現(xiàn):

解：，，

，

同理可得

四邊形是平行四邊形.

、互相平分.

結(jié)論應(yīng)用：

解：（1）連結(jié)、，如圖.

，，

是的中位線

是中線，

是中點(diǎn).

同理可得是中點(diǎn).

是的中位線.

（2）24

理由：設(shè)MN，OE的交點(diǎn)為H，AE，DF的交點(diǎn)為P，根據(jù)【教材呈現(xiàn)】可知點(diǎn)P為DF的中點(diǎn)，M是DE的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，由（1）知MN是△EDF的中位線，

∴點(diǎn)H是MN的中點(diǎn)，

∴EH是△EMN的中線，OH是△OMN的中線，

根據(jù)三角形中線平分面積可知，

又∵四邊形EMON的面積為2

∴

∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，

∴

∴

∵點(diǎn)N是DC的中點(diǎn)，

∴

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴