Question

如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一動點，DE∥BC，交AC于E，將四邊形BDEC沿DE向上翻折，得四邊形B′DEC′，B′C′與AB、AC分別交于點M、N．
（1）證明：△ADE∽△ABC；
（2）設(shè)AD為x，梯形MDEN的面積為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．當x為何值時y有最大值？

Answer 1

（1）證明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴△ADE∽△ABC．（2分）

（2）∵S_△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比為

x

6

，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

x

6

)2，所以S△ADE=

2

3

x2． （4分）
∵∠1=∠2，∠1=∠B'MD，∠2=∠B'，
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD．
又B'D=BD，∴MD=BD．
∴AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．（6分）
同理，△AMN∽△ABC，S△AMN=

8

3

(x-3)2
∴y=S△ADE-S△AMN=

2

3

x2-

8

3

(x-3)2=-2x2+16x-24． （8分）
配方得y=-2（x-4）²+8
∴當x=4時，y有最大值． （10分）