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        1. 【題目】如圖1,在△OMN中,∠MON=90°,OM=6cm,∠OMN=30°.等邊△ABC的頂點B與點O重合,BC在OM上,點A恰好在MN上.

          (1)求等邊△ABC的邊長;

          (2)如圖2,將等邊△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移,邊AB、AC分別與MN交于點E、F,在△ABC平移的同時,點P從△ABC的頂點B出發(fā),以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動,當點P達到點C時,點P停止運動,△ABC也隨之停止平移.設(shè)△ABC平移時間為t(s)

          ①用含t的代數(shù)式表示AE的長,并寫出t的取值范圍;

          ②在點P沿折線B→A→C運動的過程中,是否在某一時刻,點P、E、F組成的三角形為等腰三角形?若存在,求出此時t值;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)3cm;(2)①t值為2

          【解析】試題分析:(1)根據(jù),∠OMN=30°ABC為等邊三角形,求證OAM為直角三角形,然后即可得出答案.

          (2)①由直角三角形的性質(zhì)得出ON=2,MN=4.證明OMN∽△BEM,得出對應(yīng)邊成比例,得出BE,即可得出AE的長,容易得出t的取值范圍;

          ②△PEF為等腰三角形,分情況討論,求出t的值,如果在0<t<3這個范圍內(nèi)就存在,否則就不存在.

          試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,

          ∴∠AOC=60°

          又∵∠OMN=30°

          ∴∠OAM=90°,OAMN,

          OAM為直角三角形,

          OA=OM=3cm,

          即等邊ABC的邊長為3cm.

          (2)①∵BM=6-t,OM=6cm,OMN=30°,

          ON=2,MN=4

          ∵∠M=M,N=MBE=60°,

          ∴△OMN∽△BEM,

          ,即,

          BE=

          AE=AB-BE=(0≤t≤3);

          ②存在;理由如下:

          4種情況:

          (a)當點P在線段AB上時,點PAB上運動的時間0≤t≤,

          ∵△PEF為等腰三角形,∠PEF=90°

          PE=EF,

          ∵∠A=60°AFE=30°,

          EF=AE=(3-BE)=(3-)=t,

          =t=t,

          解得t=(故舍去),

          (b)當點PAF上時,

          PE=PF時,點PEF的垂直平分線與AC的交點,

          此時P為直角三角形PEF斜邊AF的中點,

          PF=AP=2t-3,

          ∵點PABC的頂點B出發(fā),以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動,

          0<t<3,在直角三角形中,cos30°=,

          解得:t=2,

          FE=FP,

          AF=

          t-(2t-3)=t,

          解得:t=12-6;

          (c)當PE=EF,PAE上時無解,

          (d)當P點在CF上時,AP=2t-3,AF=t,則PF=AP-AF=t-3=EF,所以t-3=t,

          解得 t=12+6>3,不合題意,舍去.

          綜上,存在t值為12-62時,PEF為等腰三角形.

          練習冊系列答案
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          (2)求DE的長。

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