Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO（O為原點(diǎn)），點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，將△BCD沿BD折疊(D點(diǎn)在OC邊上），使C點(diǎn)落在DA邊的E點(diǎn)上，并將△BAE沿BE折疊，恰好使點(diǎn)A落在BD邊的F點(diǎn)上．

（1）求BC的長(zhǎng)，并求折痕BD所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為H，若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B,H, D三點(diǎn)，求拋物線(xiàn)解析式；
（3）點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn)P在（2）中的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（不含B, D點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，分別交BC 和 BD于點(diǎn)N, M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE。
又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE。
又∵四邊形OCBA為矩形，∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°。
在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD。
∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，∴OD=2，D（0，2）。∴CD=4。
在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4，∴B（4，6）。
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b，由題意得：，解得。
∴直線(xiàn)BD的解析式為：。
（2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，F(xiàn)E=AE．
由（1）易得：OE=2，∴FE=AE=2。
∴FG=3，GE=。∴OG=。
∵H是FG的中點(diǎn)，∴H（，）。
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B、H、D三點(diǎn)，
∴，解得。
∴拋物線(xiàn)解析式為。
（3）存在。
∵P在拋物線(xiàn)上，∴設(shè)P（x，），M（x，），N（x，6）。
∵S_△BNM=S_△BPM，∴PM=MN．即：。
整理得：，解得：x=2或x=4。
當(dāng)x=2時(shí)，；
當(dāng)x=4時(shí)，，與點(diǎn)B重合，不符合題意，舍去。
∴P（2，2）。
∴存在點(diǎn)P，使S_△BNM=S_△BPM，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）。

試題分析：（1）首先由折疊性質(zhì)得到∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°，然后解直角三角形得到點(diǎn)D、點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BD的解析式；
（2）點(diǎn)B、D坐標(biāo)已經(jīng)求出，關(guān)鍵是求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．在Rt△FGE中，解直角三角形求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式。
（3）由S_△BNM=S_△BPM，且這兩個(gè)三角形等高，所以得到PM=MN．由此結(jié)論，列出方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。