Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-10x+16=0求得x₁=2，x₂=8，根據(jù)題意，得A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，列方程求a、b、c的值即可；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，sin∠FEG=sin∠CAB=

FG

EF

=

4

5

，求FG，根據(jù)S=S_△BCE-S_△BFE求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用配方法將（2）中S與m之間的函數(shù)關(guān)系式寫(xiě)出頂點(diǎn)式，可求S有最大值時(shí)，m的值，從而確定點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BCE的形狀．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是B（2，0）、C（0，8），
將A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表達(dá)式y(tǒng)=ax²+bx+8，

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

解得

a=- 2 3 b=- 8 3

∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（2）∵AB=8，OC=8，依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．即

EF

10

=

8-m

8

．∴EF=

40-5m

4

．
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

．
∴

FG

EF

=

4

5

．∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m．
自變量m的取值范圍是0＜m＜8．

（3）存在．理由如下：
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8，且-

1

2

＜0，
∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）
∴△BCE為等腰三角形．
（其它正確方法參照給分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求解析式，利用相似表示相關(guān)線段，求三角形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值．