Question

在平面直角坐標系中，直線y=

2 3

3

kx+m（-

1

2

≤k≤

1

2

）經(jīng)過點A（2

3

，4），且與y軸相交于點C．點B在y軸上，O為坐標原點，且OB=OA+7-2

7

．記△ABC的面積為S．
（1）求m的取值范圍；
（2）求S關于m的函數(shù)關系式；
（3）設點B在y軸的正半軸上，當S取得最大值時，將△ABC沿AC折疊得到△AB′C，求點B′的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點在直線上的意義可知

2 3

3

×2

3

k+m=4，k=1-

1

4

m．因為-

1

2

≤k≤

1

2

，即-

1

2

≤1-

1

4

m≤

1

2

．解得2≤m≤6．
（2）根據(jù)題意易得：OA=2

7

，OB=7．所以B點的坐標為（0，7）或（0，-7）．
直線y=

2 3

3

kx+m與y軸的交點為C（0，m）．
當點B的坐標是（0，7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7-m）；
當點B的坐標是（0，-7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7+m）．
（3）分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
利用Rt△ACD中的關系：tan∠ACD=

AD

CD

=

3

，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
再利用Rt△B'CE中的線段之間的關系可求得，CE=

5

2

，B′E=

5 3

2

．故OE=CE-OC=

1

2

．所以點B′的坐標為（

5 3

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）∵直線y=

2 3

3

kx+m（-

1

2

≤k≤

1

2

）經(jīng)過點A（2

3

，4），
∴

2 3

3

×2

3

k+m=4，
∴k=1-

1

4

m．
∵-

1

2

≤k≤

1

2

，∴-

1

2

≤1-

1

4

m≤

1

2

．
解得2≤m≤6．

（2）∵A的坐標是（2

3

，4），∴OA=2

7

．
又∵OB=OA+7-2

7

，∴OB=7．∴B點的坐標為（0，7）或（0，-7）．
直線y=

2 3

3

kx+m與y軸的交點為C（0，m）．
①當點B的坐標是（0，7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．
∴S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7-m）．
②當點B的坐標是（0，-7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．
∴S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7+m）．

（3）當m=2時，一次函數(shù)S=-

3

m+7

3

取得最大值5

3

，這時C（0，2）．
如圖，分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
則AD=2

3

，CD=4-2=2．
在Rt△ACD中，tan∠ACD=

AD

CD

=

3

，
∴∠ACD=60°．
由題意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，
∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，
∴CE=

5

2

，B′E=

5 3

2

．
故OE=CE-OC=

1

2

．
∴點B′的坐標為（

5 3

2

，-

1

2

）．

點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質(zhì)求解．