Question

【題目】問題提出

(1)如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交邊DC于點(diǎn)E，線段PB和線段PE相等嗎？請證明；

問題探究

(2)如圖2，移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長線于點(diǎn)E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

問題解決

(3)繼續(xù)移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長線于點(diǎn)E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）PB＝PE還成立(3) PB＝PE還成立

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，則四邊形PMCN是矩形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PN，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根據(jù)AAS證明△PBM≌△PEN，則可證明；

（2）連接PD，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，由“SAS”以及四邊形的內(nèi)角和得證；

（3）過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由“AAS”可證.

試題解析：(1)如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE　(2)如圖2，PB＝PE還成立．理由如下：過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE　(3)如圖3，PB＝PE還成立．理由如下：過點(diǎn)P作PM⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)M，PN⊥CD的延長線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE