Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）如果⊙O的半徑為5，cos∠DAB=，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）

【解析】

（1）連接OD，AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線(xiàn)，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定方法即可得到結(jié)論；

（2）由∠DAC=∠DAB，根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計(jì)算出AD=8，在Rt△ADE中可計(jì)算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計(jì)算出BF．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴EF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）

在Rt△ADB中，cos∠DAB=，而AB=10，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，，

∴AE=，

∵OD∥AE，

∴△FDO∽△FEA，

∴，即，

∴