Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；
（2）證明△AOF≌△COE即可；
（3）EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，可根據(jù)勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．

解答：（1）證明：當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，
∵∠BAO=∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF為平行四邊形．

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
在△AOF和△COE中

∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE

．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC． 

（3）解：四邊形BEDF可以是菱形．
理由：如圖，連接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF與BD互相平分．
∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形．
在Rt△ABC中，AC=

( 5 )2-1

=

5-1

=2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形BEDF為菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要考查平行四邊形和菱形的判定，有一定難度．