Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根

（1）求線段BC的長度；

（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；

（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）AC⊥AB；（3）（﹣2，1）；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．

【解析】試題分析：

（1）解出方程后，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出BC的長度；

（2）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知OA2=OCOB，所以可證明△AOC∽△BOA，利用對應(yīng)角相等即可求出∠CAB=90°；

（3）容易求得直線AC的解析式，由DB=DC可知，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，所以D的縱坐標(biāo)為1，將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標(biāo)；

（4）A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分別求出P的坐標(biāo)即可．

試題解析：

（1）∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4，

（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA=，OB=3，OC=1，

∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，

∵DB=DC，

∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，

∴D的縱坐標(biāo)為1，

∴把y=1代入y=﹣x﹣1，

∴x=﹣2， ∴D的坐標(biāo)為（﹣2，1），

（4）設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，

把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，

∴， 解得，

∴直線BD的解析式為：y=x+3，

令y=0代入y=x+3，

∴x=﹣3， ∴E（﹣3，0），

∴OE=3，

∴tan∠BEC==， ∴∠BEO=30°，

同理可求得：∠ABO=30°，

∴∠ABE=30°，

當(dāng)PA=AB時，如圖1，

此時，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P與E重合，

∴P的坐標(biāo)為（﹣3，0），

當(dāng)PA=PB時，如圖2，

此時，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，

令x=﹣代入y=x+3，

∴y=2， ∴P（﹣，2），

當(dāng)PB=AB時，如圖3，

∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，

若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時，記此時點(diǎn)P為P1，

過點(diǎn)P1作P1F⊥x軸于點(diǎn)F，

∴P1B=AB=2，

∴EP1=6﹣2，

∴sin∠BEO=，

∴FP1=3﹣，

令y=3﹣代入y=x+3，

∴x=﹣3， ∴P1（﹣3，3﹣），

若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，記此時點(diǎn)P為P2，

過點(diǎn)P2作P2G⊥x軸于點(diǎn)G，

∴P2B=AB=2，

∴EP2=6+2，

∴sin∠BEO=，

∴GP2=3+，

令y=3+代入y=x+3，

∴x=3， ∴P2（3，3+），

綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．