Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，過O點(diǎn)作OC⊥AB且交⊙O于C點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，切點(diǎn)為E，連接CE交AB于F點(diǎn)．

（1）求證：DE＝DF；

（2）若⊙O的半徑為2，求CF·CE的值；

（3）若⊙O的半徑為2，∠D＝30°，則陰影部分的面積　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8；（3）2﹣π．

【解析】

（1）欲證明DE＝DF，只要證明∠DEF＝∠EFD即可．

（2）延長(zhǎng)CO交⊙O于H，連接EH．證明△COF∽△CEH，推出＝，可得CECF＝COCH解決問題．

（3）根據(jù)S陰＝S△EDO﹣S扇形OEB，只要求出DE，∠EOB即可解決問題．

（1）證明：連接OE．

∵DE是⊙O的切線，

∴DE⊥OE，

∴∠OED＝90°，

∴∠DEF+∠OEC＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∴∠C+∠OFC＝90°，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠C，

∵∠OFC＝∠DFE，

∴∠DEF＝∠EFD，

∴DE＝DF．

（2）解：延長(zhǎng)CO交⊙O于H，連接EH．

∵CH為直徑，

∴∠CEH＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠COF＝90°，

∴∠COF＝∠CEH，

∵∠C＝∠C，

∴△COF∽△CEH，

∴＝，

∴CECF＝COCH＝2×4＝8．

（3）解：∵∠OED＝90°，∠D＝30°，OE＝3，

∴OD＝2OE＝4，∠EOB＝60°，DE＝＝＝2，

∴S陰＝S△EDO﹣S扇形OEB＝OEDE﹣＝×2×2﹣π＝2﹣π．

故答案為2﹣π．